On a les équivalences : $$\begin{align}&{{A+\vec u=B}}\\ \iff&{{\forall P,\overrightarrow{PA}+\vec u=\overrightarrow{PB} }}\\ \iff&{{\exists P,\overrightarrow{PA}+\vec u=\overrightarrow{PB} }}\end{align}$$
la définition de \(A+\vec u\) est donc indépendante de la "position de \(\Omega(0,0)\)"
La définition de \(A+\vec u\) est donc indépendante de l'origine
Coordonnées
Propriété :
Soit un repère \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) et notons \(\mathcal B:=(\vec u,\vec v)\) la base sous-jacente
Alors pour tout point \(P(x_P,y_P)_\mathcal R\) et tout vecteur \(\vec w(x_w,y_w)_\mathcal B\), nous avons la relation : $${{P+\vec w}}=({{x_P+x_w}},{{y_P+y_w}})_\mathcal R$$